stochastic

Dans le numéro précédent (cinquantedeux n°13) nous avons énoncé qu’avec les mains dites « spéculatives » (ie. Suited connectors-Axs) qu’il était préférable de jouer en position et agressivement afin d’obtenir un taux de gain sans show down qui puisse les rendre profitables. En effet, les chances, avec de telles mains, de flopper des jeux ayant une forte équité au show down sont relativement faibles.

Nous allons aborder plus en détails comment la combinaison d’une agression calculée et la connaissance de la valeur d’un tirage peut rendre jouable avantageusement ses mains.

La «Fold Equity» »

Au Poker, vous pouvez gagner soit en montrant la meilleure au show down soit en faisant passer votre adversaire.

Le seul moyen de faire passer votre adversaire est de miser ou de relancer.

La « fold equity» », terme anglais que l’on notera, FE, est l’espérance de gain réalisée lorsque notre opposition abandonne le coup grâce à une mise ou relance de notre part.

On associe aussi souvent à cette dénomination la probabilité que l’adversaire passe face à une mise ou une relance.

Mathématiquement cela s’écrit :

FE = pf*Pot

Où « pf » est la probabilité que notre adversaire passe et « Pot » la valeur du pot avant notre agression.

La FE est donc une fraction du pot résultant d’un « fold » (abandon) de l’adversaire qui est indépendante de la force de votre main ou de la valeur de votre tirage.

A chaque mise ou relance, il existe une «fold equity» » qui, malheureusement, ne peut se calculer exactement mais seulement estimée.

La « fold equity » va dépendre en grande partie :

-du style adverse

- de son éventail de mains potentiel

- de la perception de l’adversaire de votre propre éventail

De plus, le nombre de joueurs dans le coup, la position, la taille des tapis effectifs, la texture du flop, la taille de mise sont des paramètres à considérer et loin d’être négligeables.

On peut retenir plusieurs facteurs favorables à la FE :

- il est plus facile de faire passer un joueur que plusieurs

- votre adversaire n’est pas une « calling station » ou agressif et joue de façon plutôt prévisible

- vous êtes en position et donc plus d’informations sur le jeu adverse à travers ses actions-vos décisions de suivre, de relancer, de « value better », de bluffer seront toujours meilleures en position

- les tapis sont assez profonds de tel sorte vous avez un effet de levier menaçant le tapis adverse

- une bonne image de joueur solide permet de voler des pots avec un certain taux de succès

Par la suite, nous supposerons que nous sommes toujours en heads-up.

Le jeu d’une main à tirage en multi-way pot est un sujet à lui seul.

Chances de compléter un tirage sur une carte et sur deux cartes

Rappelons les formules classiques approximant de manière assez fiable les chances de compléter un tirage simple ou composé.

On appelle une outs une cartes complétant un tirage.

-Les tirages simples sont les tirages où le nombre d’outs est de 9 ou moins.

Avec deux cartes à venir (turn+river) les chances en % de compléter un tirage simple sont de 4*N où N est le nombre d’outs

Avec une carte à venir (turn ou river) les chances en % de compléter sont de :

2.2*N où N est le nombre d’outs

-Les tirages composés sont les tirages où le nombre d’outs est supérieur à 10.

Avec deux cartes à venir les chances en % de compléter un tirage composé sont de :

3*N+9 où N est le nombre d’outs

Avec une carte à venir les chances en % de compléter un tirage composé sont de :

2.2*N où N est le nombre d’outs

Exemples :

8c7c versus AhAd sur le flop Tc8h6c

Avec une paire, un tirage quinte ventrale et un tirage couleur on a 59% avec deux cartes à venir.

On joue effectivement 17 outs (2 8, 3 7, 3 9 et 9 trèfles). D’où 3*N+9 = 3*77717+ 9 = 60%

Si la turn est le 2d les chances tombent à 38.5%.

8c7c versus AhAd sur le flop Kc8h6c

Avec une paire, un tirage couleur et un backdoor quinte on a 52.5% avec deux cartes à venir.

On joue effectivement 14 outs (2 8, 3 7 et 9 trèfles). D’où 3*N+9 = 3*14+ 9 = 51%

Si la turn est le 2d les chances ne sont plus que de 31.8%.

Ces deux exemples montrent même étant favori au flop avec deux cartes à venir les chances de gain décroissent significativement au turn (environ de 40% en % relatif).

Retenez qu’avec 14 outs vous êtes légèrement favori de toucher votre tirage (51.4%).

De ce fait, il est souvent profitable avec un tirage composé d’essayer de mettre le maximum d’argent au flop tant que les chances de gain sont en notre faveur.

Miser au flop un tirage ayant de très forts chances d’amélioration protège votre équité.

Ac7c versus AdKd sur le flop Kc8h3c

Avec un simple tirage couleur au flop vous avez 4*N = 4*9 = 36% mais vous n’avez plus que 20.5% si la turn est le 2d.

Avec un simple tirage couleur les chances de gain baissent aussi dramatiquement à la turn. Un moyen de valoriser sa main peut être de la jouer agressivement en misant au flop en espérant que la combinaison des chances que l’opposition passe et des chances de compléter son tirage si l’on est suivi donne une équité positive.

Miser ou relancer un tirage est ce qu’on appelle communément un semi bluff.

La force de miser un tirage

Si au flop vous êtes le premier a parlé ou l’action a été checkée jusqu’à vous, réaliser un semi bluff peut s’avérer rentable si vous avez assez de FE avec la taille de votre mise même sans réelle cote implicite. La cote implicite est le gain lorsque vous complétez votre tirage.

Le tableau ci-dessous indique quelle doit être la FE dans la situation, certes peu réelle, mais instructive suivante :

-vous misez une fraction du pot entre 33% et 100% avec un tirage qui vous garantit, une fois complété, le gain du pot

-si votre adversaire suit votre mise (on suppose qu’il ne vous relance jamais), il n’y a pas de mise sur les tours d’enchères suivants

Le but lors de votre mise est de calibrer celle-ci à votre estimation de la FE qu’elle peut engendrer chez votre adversaire en fonction de son style et de son éventail de mains.

Exemples :

-Vous misez 2/3 du pot avec tirage quinte max au flop, vous avez environ 18% de le toucher au turn. Si votre adversaire passe au moins dans 20% des cas vous faites un profit.

-Vous misez 3/4 du pot avec tirage quinte ventrale (gutshot) max au flop, vous avez environ 8% de le toucher au turn. Si votre adversaire passe au moins dans 35% des cas vous réalisez un profit.

Si vous êtes en position et que vous pensez que dans les cas où votre adversaire paie alors il checkera aussi au turn. Ainsi, vous toucherez votre gutshot dans environ 16% alors il suffit qu’il passe sur votre mise que dans 26% pour réaliser un profit.

-si au turn vous misez un tirage quinte et un tirage couleur soit 15 outs, par exemple :

8h7h vs. AsKs sur Kh9c2s6h

Vous avez 34% de chances de compléter votre tirage. En misant 3/4 du pot, vous n’avez même pas besoin de FE car la cote du pot de 2.33 contre 1, supérieure à vos chances de compléter le tirage, vous garantit déjà la profitabilité de votre mise.

Attaquer ses tirages agressivement est clairement une option si l’on pense avoir de la FE.

Cette approche permet de :

-faire abandonner les mains faites marginales adverses qui sont devant nous

-faire passer un tirage qui est supérieur au notre mais pas assez fort pour suivre notre mise

-créer un flou sur la réelle force de notre main

-construire un pot plus gros et donc favoriser notre cote implicite si notre tirage rentre

-prendre le contrôle de coup plutôt que le subir

-la possibilité d’induire une « free card » (carte gratuite) au turn si l’on possède la position grâce à notre initiative dans le coup

La «Show Down Equity» »

La «show down equity» » est basée sur la valeur de votre main à la river après toutes les enchères et donc de ses chances que cela soit la main gagnante au show down.

Elle est indépendante des actions que vous prenez au cours du jeu.

En cas d’all in au flop, la «show down equity» », notée SDE, est l’espérance de gain au show down.

La SDE est le gain réalisé pondéré par les chances de gagner au show down moins la perte réalisée pondérée par les chances de perdre au show down.

SDE = eq*g – (1-eq)*s, ce qui se simplifie,

SDE = (g+s)*eq-s

Où, eq = chances de gain au show down, g = gain lors du all in, s = votre stack lors du all in

Exemple :

Votre adversaire mise all in 100 dans un pot de 150 et vous estimez vos chances de gagner au show down à 60%.

Dans 60% vous gagnez 250 et dans 40% vous perdez 100

Votre SDE est donc :

60%*250-40%*100 = 150-40 = 110

On peut aussi faire le calcul avec la taille finale du pot qui est de 350, alors :

SDE = 350*60%-100 = 210-100 =110.

En moyenne vous faites un profit de 110 et donc vous aurez un tapis de 210.

Dans les cas d’un tirage pour définir votre équité, eq, contre un éventail adverse, vous devez déterminer :

-Votre nombre d’outs

-Quelles sont les outs qui sont « cleans », c’est à dire qu’elles sont celles vous assurant la main gagnante à la river. Essayez de voir s’il n’existe pas des tirages supérieurs au votre.

-Comment se comporte le tirage face à un éventail de mains adverse et non pas face à une seule main.

-Essayez d’estimer, en fonction de son style, avec quelles mains votre adversaire est prêt à partir all in au flop.

Exemple :

Sur le flop Qc9c5h

Avec KcTc et 8c7c vous un avez un tirage couleur et un gutshot qui donne 12 outs potentielles.

Mais face à univers adverse contre lequel on doit estimer eq, ces deux tirages ne sont pas équivalents.

Divisons en plusieurs groupes l’univers potentiel avec lequel notre opposition est susceptible de partir all in au flop.

*Votre adversaire peut avoir trois brelans : QQ 99 55

Les deux mains ont la même valeur face un brelan : 33%

Vos chances ne sont pas de 3*12+9 = 45%, à cause des possibilités de « redraws » adverses vers un full même si vous touchez l’une de vos 12outs.

*Face à top paire ou une over paire KT est meilleur car avoir un K permet d’outdrawer AQ et réduit les possibilités de KK chez l’adversaire.

Cela dit, vos outs sont toutes « cleans », on a donc :

KcTc vs AQ KK AA ~ 50%

8c7c vs AQ KK AA ~ 45.8%

*Face à deux paires max (Q9 dans notre exemple) vos chances de gain seront entre celles face à un brelan et celles face à top paire soient environ 40%.

*Reste à voir quels peuvent être les tirages qui dominent votre main.

Avec KcTc on peut envisager : AcJc AcTc Ac5c

On peut ajouter en fonction du type adverse les autres tirages couleurs max.

Avec 8c7c les tirages dominants sont bien plus nombreux : AcKc AcJc AcTc Ac5c KcJc JcTc

Ici aussi, on peut comptabiliser quelques autres tirages couleurs max.

Lors d’un tirage dominé, comme précédemment, nos chances de gain sont de l’ordre de 25%. Il est donc crucial d’avoir une idée du nombre tirages dominants que peut éventuellement détenir notre opposition dans son univers de mains et éventuellement avec lesquels d’entre eux elle est prête à s’engager.

Une fois chaque groupe défini et les chances contre chacun d’eux, il reste pour définir l’équité contre l’éventail adverse estimé à pondérer par le nombre de mains dans chaque groupe.

Même si votre estimation de l’éventail adverse n’est pas 100% précise ce type d’analyse est vital pour connaitre la force de votre tirage. Vous devez avoir absolument une idée de vos chances de gain au show down face à un joueur standard quitte à la modifier dans un sens ou un autre par la suite.

Grace au tableau précédent nous déterminons eq comme suit :

-eq = (21*50+9*25+1*40+3*25)/34 = 41%

Enfin pour finir avec notre exemple, supposons que le pot contienne au flop 200.

Notre adversaire mise 150 et notre stack est de 900 que nous poussons au milieu.

Notre SDE sera si l’on est payé.

SDE = (g+s)*eq-s = (900+200+900)*41%-900 = 820-900 = -80

En réalité face à cet éventail vous avez exactement 43.9% mais les approximations sont assez fiables pour avoir une idée correcte de la force de notre tirage.

Comme les tirages composés contiennent fréquemment des tirages couleurs (Flush Draw –FD) nous allons donner quelques pourcentages de configurations classiques pour déterminer une équité contre un éventail.

Le backdoor couleur et le backdoor quinte avec une configuration avec trois cartes consécutives au flop du type KJT, JT9 ne sont pas à négliger dans vos estimations car équivalents à 1 out, soit environ 4%.

.

La force « réelle » du tirage

Votre main de tirage possède deux angles sous lesquels vous pouvez la rentabiliser :

La «fold equity» (FE)

La «show down equity» (SDE)

Si votre main a une bonne SDE, elle mérite certainement de continuer le coup mais plus cette SDE est faible plus vous avez besoin de FE.

Les mains comme les connecteurs assortis nécessitent une FE non négligeable car les chances de flopper un jeu à fort SDE ne sont pas suffisantes pour les jouer profitablement même en position.

Quelque soit votre main, mais encore avec plus les mains dites « spéculatives » comme les SC ou les Axs, vous devez maximiser la somme de votre FE et votre SDE qui compose votre Equité totale.

Bien sûr, la décision de jouer de telles mains sera prise dès l’action pré-flop en fonction des paramètres définis dans l’article précédent (cinquantedeux n°13).

Nous définissons donc l’équité « réelle », notée E, c’est-à-dire l’équité effective de votre main comme l’équité cumulant votre FE et SDE.

Equité totale = E = FE + SDE

E = pf*dm + (1-pf)*[(g+s)*eq-s)], ce qui s’écrit aussi,

E = pf*[dm+s-(g+s)*eq] + (g+s)*eq-s

Où,

-pf = probabilité que l’adversaire passé au flop l’all in

-dm = l’argent au pot avant votre all in, appelé aussi « dead money »

-s= votre stack sur l’all in au flop

-g= le gain réalisé en cas de victoire au show down

-eq= votre équité contre l’éventail adversaire en cas d’all in au flop

Exemple :

Le pot contient 100, vous misez 50, votre adversaire relance à 200 et vous poussez all in 800 en pensant avoir 40% d’équité au show down et 20% de «fold equity».

Pf = 20%, dm = 100+50+200 = 350, s= 800, g= 800+150 = 950 et eq= 40%

E = 20%*(350+800-(950+800)*40%) + (950+800)*40%-800 =-20

Remarque : si vous connaissez votre SDE alors E = pf*(dm-SDE) + SDE

Cas particuliers avec la FE

*Imaginons une situation où vous relancez (ou misez) avec des chances de gain nulles ou avec l’intention de passer si vous êtes relancé, E s’écrit alors :

E = pf*(dm+s)-s

Il faut que votre FE soit supérieure à s/(dm+s).

Vous ne réalisez plus un semi bluff mais simplement un bluff pur.

Exemple : votre adversaire mise 100 un pot de 150, si vous relancez à 250 en pur bluff il faut que votre adversaire passe : 250/(100+150+250) = 50%.

*Dans le cas où vous êtes max et indestructible(ou quasi indestructible), E s’écrit alors :

E = pf*(dm+s-g) + g

Le terme (dm+s-g) étant négatif, la FE joue en votre défaveur puisque qu’elle réduit votre équité. Etant effectivement max, vous ne désirez pas que votre adversaire passe. Cela dit, relancer (ou miser) est peut être quand même la meilleure option pour une raison de « metagame » ou encore par ce que votre adversaire paiera encore moins souvent sur les tours d’enchères suivants.

Ratio Risque/Gain et «fold equity»

Un tirage nécessite donc souvent de la «fold equity» pour être profitable.

La «fold equity» est obtenue par une relance si votre adversaire mise au pot.

La taille de votre relance et la perception de votre adversaire de ce qu’elle représente permet de gagner avec une certaine probabilité sans show down.

La taille de votre relance doit être suffisamment dissuasive pour engendrer un abandon chez votre adversaire et elle doit rester dans un intervalle raisonnable de telle sorte que le rapport entre le gain et le risque soit rentable avec une SDE donnée.

Nous allons définir le ratio risque/gain lors d’un all in au flop car celui va définir la «fold equity» requise pour que l’all in soit profitable en fonction de notre «show down equity».

Le ratio risque/gain, noté RRG, est le rapport entre la taille de votre stack avant de faire all in et la taille du pot avant votre all in.

Exemple :

Blindes 0.5/1, les tapis effectifs sont de s

Vous relancez à 3 du cut-off et vous êtes payé par le bouton. Le pot contient 7.5.

Vous misez 5 au flop soit environ 2/3 du pot.

Si votre adversaire vous relance, vous ferez face communément à une mise entre 12.5 et 20 soit entre 2.5 et 4 fois votre mise.

Prenons une relance adverse de 15, le pot contient maintenant : dm = 7.5+5+15 = 27.5

Il vous reste maintenant un stack s’ qui est votre stack de départ s moins vos mises pré-flop et au flop.

Imaginons que vous n’envisagiez que de passer ou faire all in au flop après la relance adverse.

Le ratio risque/gain, noté RRG, est le rapport entre votre stack s’ et la taille du pot, dm.

RRG = s’/dm

Si votre stack, s, est de 90 au départ du coup, alors il devient s’au flop et est égal à 82 et

RRG = 82/27.5 ~3

La «fold equity» n’est pas toujours profitable

Dans les cas où vous êtes favori avec votre tirage de gagner au show down, c’est-à-dire votre équité au show down, eq, est supérieure à 50%, il sera toujours profitable de faire all in quelque soit la décision adverse (suivre ou passer).

Cependant, il existe un seuil pour eq où pour un RRG donnée, la «fold equity» joue en votre défaveur c’est-à-dire que vous préférez être payé plutôt que votre adversaire passe.

Exemple :

Reprenons les données précédentes :

Relance pré-flop à 3  suivie par le bouton, mise de 5 au flop et relance à 15 du bouton. Les tapis de départ sont de 90.

Notre RRG est de 3.

Nous avons KsQs sur le flop Ts9s5h

Face à Jh9h nous sommes favoris avec eq=56% car avec un tirage couleur, un gutshot et deux over cards, nous avons une tonne d’outs.

Partir all in au flop nous donne une équité positive même sans FE car nous sommes favoris de gagner le show down.

Le calcul de E sans FE donnerait un gain moyen d’environ 15.

Cela dit, avec 20% de FE on gagnerait environ 18.

On profite donc de la FE même en étant favori. Notre adversaire, s’il voyait notre main aurait un call facile. Le gain avec la FE est d’autant plus grand que notre adversaire passe des mains avec lesquelles le call serait correct.

En revanche, comme l’indique le tableau ci-dessus, avec un RRG de 3, il faudrait que nos chances de gain, eq, soient au dessus de 62% pour désirer que notre adversaire ne passe pas.

Par exemple, si notre adversaire détient 3d3c ou 8s7s où nous somme favoris respectivement à 65% et 72%, on fait un profit sans FE. Mais contre de telles mains on préfère être payé tant notre avantage est grand.

Sans FE, on réalise des gains respectifs de 37 et 52 alors qu’avec une FE de 20% ceux-ci tombent à 36 et 50.

Cependant, il est rare d’avoir un tirage où les chances de gain au show down soient supérieures à 50% notamment contre un univers adverse prêt à payer un all in.

Nous le répétons, on ne peut raisonner en mettant notre adversaire sur une seule main mais face un éventail probable qu’il peut détenir en fonction de son style, sa position etc.

Cela dit, il est important de savoir, lorsqu’on considère notre FE, quelles mains de l’éventail il est profitable de faire passer et quelles mains il est avantageux de garder.

Quelle « fold equity » est profitable ?

Il est possible en fonction de ratio risque/gain, RRG, et vos chances de gagner au show down, eq, de trouver quelle est, avec un tirage, la «fold equity» minimale nécessaire pour faire un profit sur un all in au flop.

Le tableau suivant résume les résultats pour différents RRG et eq.

Exemple :

Reprenons toujours notre exemple précédent :

Relance pré-flop à 3 suivie par le bouton, mise de 5 au flop et relance à 15 du bouton. Le pot contient 27.5.

Vous estimez à 35% vos chances de gain au show down et vous avez un RRG de 3 soit environ 83 dans votre stack alors que le pot contient 27.5.

Vous pouvez aller all in profitablement si vous estimez que votre adversaire passe dans 43%.

Il ressort du tableau ci-dessus que :

-pour un gain au show down donné, il faut d’autant plus de «fold equity» que le RRG est grand.

-pour un RGG donné, il faut d’autant moins de «fold equity» que le gain au show down est grand.

-avec un tirage ayant plus de 45% contre un éventail adverse, il est profitable d’aller all in même sans «fold equity» avec un RRG inférieur à 2.5.

Avec de telles chances de gain, la présence d’un tant soit peu d’argent mort dans le pot rend profitable l’all in.

Le montant de la relance au flop doit être dissuasive pour atteindre votre objectif de faire passer votre adversaire. Ainsi, si votre RRG n’est pas supérieur à 3, seul l’all in est envisageable car c’est certainement le « move » engendrant la pression maximale.

De plus, sur toute relance inférieure de votre part, vous aurez certainement la cote pour payer l’all in de votre adversaire. En effet, la cote du pot offerte sera largement suffisante même pour un tirage n’ayant que 20 à 25% de gagner au show down.

D’une manière générale, la «fold equity» est difficile à estimer et fortement dépendante de l’adversaire et de ses tendances. Cependant, une erreur fréquente est d’être trop optimiste en sa faveur lors de son l’estimation.

Cherchez les opportunités d’avoir une bonne «fold equity» et une bonne «show down equity» afin de maximiser votre équité effective.

Soyez vigilant à l’action autour de vous les coups précédents et essayer d’en tirer des informations sur le style de chaque adversaire avant de vous embarquer avec un tirage marginal et peu de «fold equity» face à la mauvaise opposition.

Si votre RRG est supérieur à 3, la «fold equity» nécessaire est trop grande, même avec les tirages ayant une forte « « show down equity» », pour pouvoir engager son tapis.

Il faudra alors envisager probablement un jeu moins agressif et c’est notamment dans ces situations où les tapis sont profonds que la position joue son rôle crucial.

Conclusion :

Nous avons déterminé que la force d’un tirage est la combinaison :

De la « fold equity » et de la « show down equity »

Sachez avec un tirage :

- Estimer la « show down equity » de votre tirage en comptabilisant honnêtement vos outs face à un univers de mains adverse

-Soyez objectif avec votre estimation de la « fold equity »

-Evaluer votre Ratio Risque Gain avant de partir all in

- Ne pas oublier que même les tirages les plus forts nécessitent de la « fold equity »

Nous avons maintenant les éléments nécessaires pour envisager dans le prochain numéro des cas pratiques de ligne de jeu avec un tirage au flop.

François TARDIEU -stochastic

copyright magazine cinquantedeux 2009 http://cinquante-deux.com/