Après le M, l’ICM est probablement l’un des termes les plus utilisés dans la communauté des joueurs de tournoi de poker. Tout le monde en parle mais pas grand monde ne le comprend. Je vais essayer de vous expliquer ici qu’est ce que c’est, comment le calculer et comment il s’applique en tournoi.


Imaginons que dans 10 ans, poker académie et Best One poker organise le plus gros tournoi du monde. Un million de joueurs misent un dollar, il n’y a qu’un seul prix : 1 million de dollars ! Après une semaine de tournoi, il ne reste que deux joueurs. L’un a 75% des jetons restant et l’autre 25% des jetons. Epuisés ils décident de partager le prix. Assumons que les deux joueurs sont de forces égales. Le deal qui semble évident pour tous serait 75% de 1 million pour le chip leader, soit 750 000$ et 25 % de un million pour le second, soit 250 000$.
Et bien en théorie des probabilités c’est ce qu’on appelle l’équité.
Et à n’importe quel moment du tournoi, on peut arrêter le tournoi et calculer l’équité de chaque joueur selon la taille de son tapis. A moins que les joueurs ne s’arrêtent vraiment de jouer, il s’agit d’une valeur mathématique abstraite. Dans le cas du tournoi si dessus, si les deals sont interdits, l’équité du chip leader est de 750 000$, mais il ne va pas gagner 750 000$. Il va gagner un million ou zéro.
Alors comment fait-on pour calculer l’équité quand il y a plusieurs prix ?
Prenons un autre exemple, toujours avec un million de prix. Mais cette fois dix joueurs ont mis chacun 100 000$. C’est un Sit and Go classique avec la répartition 50% au premier, 30% au second et 20% au troisième. Soit respectivement 500 000, 300 000 et 200 000. Il ne reste que deux joueurs, et comme dans le premier exemple le chip leader à 75% des jetons.
Son équité est alors de 75% x 500 000 + 25% x 300 000 = 450 000 $
Et l’équité du second est de 25% x 500 000 + 75% x 300 000 = 350 000 $

Alors pour calculer à deux joueurs, c’est facile. Comment fait on quand on est trois ou quatre ?
Le postulat de base de la théorie de l’ICM est qu’un joueur qui a 75% des jetons a 75% de chance de remporter le tournoi, qu’il reste deux, quatre, dix ou mille joueurs. C’est un modèle mathématique simple. Je reviendrais dans un autre article sur ses limites, mais essayons de le comprendre avant de le contester.
Rajoutons donc un troisième joueur. Le chip leader à 75% des jetons, le second 20% et le troisième 5%. Et calculons leur équité respective. Dans le cas du tournoi à un seul prix c’est facile. C’est la chance de gagner le tournoi fois un million. Et donc respectivement 750 000$, 200 000$ et 50 000$.
Dans le cas du Sit and go c’est un peu plus complexe. Il faut savoir combien chaque joueur à de chance de finir premier, second ou troisième.

  • On sait que le chip leader à 75% de chance de finir premier. Dans ces 75% des cas où il finit premier quels sont les chances des autres joueurs de finir respectivement second et troisième ? Et bien la théorie de l’ICM suppose que les tapis sont indépendant les uns des autres. Et on peut donc calculer cette probabilité en comparant les deux tapis restant. Un des joueurs à quatre fois plus de jetons que l’autre. 20% du total des jetons contre 5%. Et donc, si on enlève le tapis du chip leader et qu’on ramène en base 100, le second à 80% des jetons restants et le troisième 20% des jetons restants. Donc le second tapis aura alors 80% de chance de finir second et 20% de chance de finir troisième. Et le troisième tapis 20% de chance de finir second et 80% de chance de finir troisième.

 

  • On sait que le second tapis à 20% de chance de gagner. Dans ces 20% de cas. Le chip leader à 93,75% des jetons restants. Et donc autant de chance de finir second et 6,25% de chances de finir troisième. Et le petit tapis a 6,25% de chances de finir second et 93,75% de faire 3.

 

  • Le petit tapis à 5% de chances de finir premier. Dans ces 5% de cas. Et alors le chip leader à 78,95% des jetons restants, qui sont ses chances de finir second, et il a 21,05% de finir troisième. Le second tapis a les mêmes probabilités inversées.

On a épuisé tous les cas et on peut donc calculer l’équité de chacun.
Le chip leader à 75% de finir premier+ (20% x 93,75%) de finir second+ (5% x 78,95%) de finir second+ (20% x 6,25%) de finir troisième + (5% x 21,05%) de finir troisième.
Il sera donc premier dans 75% des cas, second dans 22,7% et troisième dans 2,3%.
Son équité est de 75% x 500 000 + 22,7% x 300 000 + 2,3% x 200 000 = 447 700 $
Le second à 20 % de finir premier, (75% x 80%) + (5% x 21, 05%) de finir second et (75% x 20 %) + (5% x 78,95%) de finir troisième.
Soit une équité de 321 100 $
Et par les mêmes calculs, le troisième à une équité de 231 300 $.
Un million de dollars ca fait rêver mais on se rend compte que si le sit and go est à 10 joueurs et à un dollar l’inscription, les équités seront, en proportion, les mêmes. Aussi elles sont souvent exposées en décimales. Le chip leader a 0.4477, le second 0, 3211 et le troisième 0,2313.
Multipliez par le total des prix afin de retrouver les équités en dollars.

Rajoutons maintenant un quatrième joueur. Prenons le cas ou le chip leader à 60% des jetons, le second 20%, le troisième 15% et le quatrième 5%.
Dans le cas ou le chip leader gagne le tournoi. Le second à 50% des jetons restant, le troisième 37,5% et le dernier 12,5%. Et on refait la décomposition comme si c’était un cas à trois. Si le second fait second (50% des cas) alors le troisième à trois fois plus que le quatrième et fini troisième dans 75% des cas. On décompose ainsi tous les cas et additionne les pourcentages. On peut faire ça avec 2000 joueurs restant.
C’est facile mais très laborieux. Heureusement il existe des calculateurs d’ICM. La plupart pour les Sit and Go, avec 3 prix. Mais sur le site ICM poker, une table permet de calculer pour dix prix.

Application de l’ICM pour répondre à un problème de tournoi sur le forum de poker académie.
On parle beaucoup de la théorie de l’ICM pour les Sit and Go. J’aurais l’occasion d’y revenir.
Mais je voulais aujourd’hui utiliser l’ICM pour analyser une décision difficile dans un tournoi MTT.
Situation : tournoi à 2$, joué par Omine sur Full Tilt le 17 septembre 2008. 391 entrées et 36 prix, il reste 8 joueurs en table finale. La répartition des prix est la suivante
1er 196 $
2nd 125$
3ème 94$
4e 72$
5e 55$
6e 39$
7e 25$
8e 20$
Et les jetons (arrondis)
Seat 1 : 66 000
Seat 2 : 159 000
Seat 3 : 160 000
Seat 4 : 169 000
Seat 5 : 117 000
Seat 6 : 192 000
Seat 7 : 179 000
Seat 8 : 132 000 (Omine en grosse blinde)
Les blindes sont de 2,500; 5,000 et 600 d’Ante.
Le bouton qui aime bien voler relance à 15 000 et la petite blinde surelance à 25 000$. J’ai AsQs. Que faire ?
Comment utiliser la théorie de l’ICM pour répondre à une question comme celle-ci ?
Déjà le fait qu’il y avait 36 joueurs payé c’est du passé. Nous commençons ici un nouveau tournoi avec 8 joueurs et 8 prix. Il faut regarder le total et la répartition des prix.
Le total = 196+125+94+…+ 20 = 626 $
Soit en pourcentage : 196/626 = 31,3% pour le premier 125/626 = 20% pour le second, etc. 20/626 = 3,2% pour le 8e.
En rentrant tous ces pourcentages ainsi que les tapis dans le calculateur d’ICM nous avons l’équité de chacun avant le coup.

On voit que l’équité d’Omine avant le coup est de 11,980.
Soit en dollars 11,98 % x 626 = 75$
C’est son espérance moyenne de gains.
Quand le coup arrive à lui Omine a trois options.

  • Il peut payer les 25 000 $. Mais c’est presque 20% de son tapis et le bouton va se retrouver avec une grosse côte pour payer. Omine va se retrouver en sandwich entre l’agresseur et un payeur. La pire position qu’il soit au poker. Avec une main difficile à jouer. Eliminons cette option.
  • Il peut jeter. Le bouton peut payer la grosse blinde ou la surelancer et un des deux joueurs peuvent s’éliminer, ce qui va faire avancer Omine dans l’échelle des prix. Mais disons pour simplifier que la lecture d’Omine est la bonne, que le bouton n’a rien et jette face à la petite relance. Retenons cependant que la simplification est à l’avantage d’Omine. On a une nouvelle répartition des jetons et donc un nouvel ICM pour chaque joueur. Chaque joueur perd une Ante de 600. Le bouton perd sa relance 15 000, Omine perd sa grosse blinde 5 000 et la petite blinde gagne 20 000, plus les antes.
    On a donc la nouvelle répartition d’équité suivante :

La nouvelle équité d’Omine (s’il jette) est de 11,722, soit en dollars 11,77 % x 626 = $ 73,4

  • Il peut relancer à tapis et faire un squeeze. Il se peut alors que les deux joueurs derrières partent à tapis. Ca voudrais dire qu’ils ont des grosses mains et que as dame n’a pas grandes chances de survivre. Afin de simplifier les calculs, négligeons ce cas. Là encore retenons que c’est à l’avantage d’Omine.
    Si la lecture d’Omine est la bonne et que le bouton folde, la petite blinde va avoir le choix de payer 106 K pour un pot de 132 000+15 000+ 25 000+ 4 200 (Ante) = 176 200.
    Elle va avoir du 1,65 contre 1. Et probablement payer.
    - Disons que dans 20 % des cas la petite blinde fold.
    Omine remporte le pot de 176 200, les autres joueurs perdent les Ante, le bouton 15 000 et la petite blinde 25 000.
    On a donc la nouvelle répartition d’équité suivante :


La nouvelle équité d’Omine est alors de 13,87, soit en dollars 13,87 % x 626 = $ 86,82
- Dans 80% des cas il est payé. La petite blinde peut alors avoir une grosse main, comme il peut avoir une main moyenne avec laquelle il a décidé de payer pour la cote. Je lui donne donc les mains suivantes en jaune sur poker stove. J’ai rajouté A4s et A5s, des mains dominées par AQs, afin de simuler le petit pourcentage ou le joueur 7 était en vol mais décide quand même de prendre sa chance pour la cote.

Contre ce range AQs a exactement 48%.

S’il perd, l’équité d’Omine est alors facile à calculer. Dans 52% des cas, il est éliminé du tournoi et touche le 8ème prix 20$ soit 3,2%.
S’il gagne le coin flip on a encore une nouvelle répartition :

 
Et l’équité d’Omine est de 17,592% soit en dollars 17,592%x626 = 110, 12 $
Donc s’il pousse et que la petite blinde paye sont équité est
(Chance de perdre x équité quand on a perdu) + (chance de gagner x équité quand on a gagné) =
52% x 3,2% + 48% x 17,592% = 1,664%+8,444= 10,108%
En rajoutant les 20% de cas ou la petite blinde folde contre le push d’Omine on a son équité totale s’il fait tapis :
Chance que la SB fold x (équité quand la SB fold) + Chance que la SB paye x (équité quand la SB paye) =
20 % x 13, 87 + 80% x 10, 108= 2,775 + 8,087= 10, 862. Soit en dollars 10, 862% x 626 = 68 $

Et on a la solution à notre problème.
S’il folde Omine a une équité de 11, 722 et s’il fait tapis une équité de 10, 862.
Il faut donc folder AQs dans cette situation. D’autant plus qu’on a fait deux simplifications à l’avantage d’Omine. S’il folde les deux joueurs restant peuvent s’affronter et s’ éliminer l’autre. Et s’il fait tapis, il peut être payé par deux joueurs et avoir beaucoup moins de chances de survie.
Payer est une erreur de 1% d’équité de tournoi, soit 10 % de son équité au départ et de plus de 5$.